FUNCION DE TRANSFERENCIA

Función de transferencia

Una función de transferencia es un modelo matemático que a través de un cociente relaciona la respuesta de un sistema (modelada) a una señal de entrada o excitación (también modelada).
El cociente formado por los modelos de la señal de salida respecto de la señal de entrada, permite encontrar los ceros y los polos, respectivamente. Y que representan las raíces en las que cada uno de los modelos del cociente se iguala a cero. Es decir, representa la región frontera a la que no debe llegar ya sea la respuesta del sistema o la excitación al mismo; ya que de lo contrario llegará ya sea a la región nula o se irá al infinito, respectivamente.
Considerando la temporalidad; es decir, que la excitación al sistema tarda un tiempo en generar sus efectos en el sistema en cuestión y que éste tarda otro tiempo en dar respuesta. Esta condición es vista a través de un proceso de convolución, formado por la excitación de entrada convolucionada con el sistema considerado, dando como resultado, la respuesta dentro de un intervalo de tiempo. Ahora, en ese sentido (el de la convolución), se tiene que observar que la función de transferencia está formada por la de convolución entre la señal de entrada con el sistema. Dando como resultado la descripción externa de la operación del sistema considerado. De forma que el proceso de contar con la función de transferencia del sistema a través de la de convolución, se logra de forma matricial o vectorial, considerando la pseudoinversa de la matriz o vector de entrada multiplicado por el vector de salida, para describir el comportamiento del sistema dentro de un intervalo dado. Pareciera un proceso complicado, aunque solo baste ver que la convolución discreta es representada por un producto de una vector o matriz fija respecto de una matriz o vector móvil, o que en forma tradicional se observa como una sumatoria.

Uno de los primeros matemáticos en describir estos modelos fue Laplace, a través de su transformación matemática.
Por definición una función de transferencia se puede determinar según la expresión:
donde H (s) es la función de transferencia (también notada como G (s) ); Y (s) es la transformada de Laplace de la respuesta y U (s) es la transformada de Laplace de la señal de entrada.
La función de transferencia también puede considerarse como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como señal de entrada:
La salida o respuesta en frecuencia del sistema se halla entonces de
y la respuesta como función del tiempo se halla con la transformada de Laplace inversa de Y(s):
Cualquier sistema físico (mecánico, eléctrico, etc.) se puede traducir a una serie de valores matemáticos a través de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos.
Por ejemplo, en análisis de circuitos eléctricos, la función de transferencia se representa como:

Funciones de transferencia
Una función de transferencia de una red es el cociente entre un fasor de respuesta y un fasor de excitación, que pueden o no estar definidos en el mismo par de nodos.
Un ejemplo de funciones de transferencia es una admitancia o una impedancia: , .
Estas funciones de transferencia tienen dimensiones. La primera dimension es de y la segunda de . Hay también funciones de transferencia adimensionales: función de transferencia de voltaje (V2/V1), de corriente (I2/I1)
Funciones de entrada
Funciones de transferencia
impedancia de entrada
admitancia de entrada
impedancia de transferencia
transferencia de voltaje
transferencia de corriente


Ejemplo - Filtro paso bajo
Si tenemos el siguiente circuito:
Si calculamos la función de transferencia de voltaje:

Esto representado queda:
Se ve cómo la función de transferencia es prácticamente 1 (v2 = v1) a frecuencias pequeñas, y prácticamente 0 (v2 = 0) a frecuencias elevadas. Esto hace que lo que tengamos sea un filtro paso bajo.
Viendo la gráfica de la fase se ve cómo v2 estará atrasada siempre respecto a v1, desde 0º a 90º de atraso. Es por tanto una red de atraso.
Frecuencia a 3dB: es aquella a la que una magnitud disminuye en 0'707 (es decir se divide entre ). A esta frecuencia la potencia se reduce a la mitad.
En la expresión:

Ejemplo - Filtro paso alto
En este segundo ejemplo tenemos el siguiente circuito:
La función de transferencia es:
Representando la función obtenemos que queda de la siguiente forma:
El módulo del fasor v2 aumenta con la pulsación y es nulo a =0, esto quiere decir que deja pasar las altas frecuencias. Es un filtro paso alto.
En la gráfica de fase se ve que varía de 90º (a =0) hasta 0º a altas frecuenciar. v2 estará adelantado a v1, tenemos una red de adelanto (en realidad esto es sólo en apariencia ya que lo que se hace es desfasar entre -270º y -360º).
Casos generales
En general podemos encontrarnos en alguno de los siguientes casos al tener una función v2/v1. Si la representamos en función de :
Filtro paso bajo
Filtro paso alto
Filtro paso banda

Ancho de banda: es el margen de frecuencias que deja pasar un circuito. En el filtro paso-alto es infinito mientras que en el paso-bajo es 1 - 0 = 1. En el paso-banda es 2 - 1.

Aplicación interactiva sobre filtros.
A continuación se puede acceder a una aplicación interactiva que muestra los filtros paso bajo y paso alto que se pueden realizar mediante un único condensador y una resistencia. En ella se pueden variar los valores de los distintos elementos del circuito y se muestra la función de transferencia del circuito así como la frecuencia de corte. Los únicos parámetros que puede modificar el usuario son:
· R y C: el valor de la resistencia y del condensador respectivamente que forman los filtros simples utilizados en la aplicación.
· Escoger entre un filtro paso bajo o paso alto.
Ejemplo - Filtro activo
En el siguiente ejemplo vamos a ver cómo calcular la función de transferencia V2/V1 en régimen permanente senoidal del siguiente filtro activo:
Ya sabemos que el circuito:
es equivalente a:
Así que si sustituimos el operacional en el circuito siguiendo la anterior equivalencia tendremos:
Si analizamos por nodos:
En el nodo C relacionamos el voltaje V2 con VB


Al final como resultado nos queda la función de transferencia:
En general se expresará la función de transferencia como un cociente de polinomios de la forma:
También como se ha visto en el ejemplo se suele normalizar el polinomio. Es decir se suele dividir el numerador y el denominador por D. De esta forma el coeficiente de es de 1.

Características
Las características que definen un filtro vienen determinadas por los siguientes conceptos:
Función de transferencia
Con independencia de la realización concreta del filtro (analógico, digital o mecánico) la forma de comportarse de un filtro se describe por su función de transferencia. Ésta determina la forma en que la señal aplicada cambia en amplitud y en fase al atravesar el filtro. La función de transferencia elegida tipifica el filtro. Algunos filtros habituales son:
Filtro de Butterworth, con una banda de paso suave y un corte agudo
Filtro de Chebyshev, con un corte agudo pero con una banda de paso con ondulaciones
Filtros elípticos o filtro de Cauer, que consiguen una zona de transición más abrupta que los anteriores a costa de oscilaciones en todas sus bandas
Filtro de Bessel, que, en el caso de ser analógico, aseguran una variación de fase constante

Se puede llegar a expresar matemáticamente la función de transferencia en forma de fracción mediante las transformaciones en frecuencia adecuadas. Se dice que los valores que hacen nulo el numerador son los ceros y los que hacen nulo el denominador son polos.
El número de polos y ceros indica el orden del filtro y su valor determina las características del filtro, como su respuesta en frecuencia y su estabilidad.
Orden
El orden de un filtro describe el grado de aceptación o rechazo de frecuencias por arriba o por debajo, de la respectiva frecuencia de corte. Un filtro de primer orden, cuya frecuencia de corte sea igual a (F), presentará una atenuación de 6 dB en la primera octava (2F), 12 dB en la segunda octava (4F), 18 dB en la tercer octava (8F) y así sucesivamente. Uno de segundo orden tendría el doble de pendiente (representado en escala logarítmica). Esto se relaciona con los polos y ceros: los polos hacen que la pendiente baje con 20 dB por década y los ceros que suba también con 20 dB por década, de esta forma los polos y ceros pueden compensar su efecto.

Para realizar filtros analógicos de órdenes más altos se suele realizar una conexión en serie de filtros de 1º o 2º orden debido a que a mayor orden el filtro se hace más complejo. Sin embargo, en el caso de filtros digitales es habitual obtener órdenes superiores a 100.
Tipos de filtro
Atendiendo a sus componentes constitutivos, naturaleza de las señales que tratan, respuesta en frecuencia y método de diseño, los filtros se clasifican en los distintos grupos que a continuación se indica.
Según respuesta frecuencia
Filtro paso bajo: Es aquel que permite el paso de frecuencias bajas, desde frecuencia 0 o continua hasta una determinada. Presentan ceros a alta frecuencia y polos a bajas frecuencia.
Filtro paso alto: Es el que permite el paso de frecuencias desde una frecuencia de corte determinada hacia arriba, sin que exista un límite superior especificado. Presentan ceros a bajas frecuencias y polos a altas frecuencias.
Filtro paso banda: Son aquellos que permiten el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
Filtro Atenua banda: También llamado filtro rechaza banda, es el que dificulta el paso de componentes frecuenciales contenidos en un determinado rango de frecuencias, comprendido entre una frecuencia de corte superior y otra inferior.
Filtro multibanda: Es que presenta varios rangos de frecuencias en los cuales hay un comportamiento diferente.
Filtro variable: Es aquel que puede cambiar sus márgenes de frecuencia.
Filtros activos y pasivos
Filtro pasivo: Es el constituido únicamente por componentes pasivos como condensadores, bobinas y resistencias.
Filtro activo: Es aquel que puede presentar ganancia en toda o parte de la señal de salida respecto a la de entrada. En su implementación se combinan elementos activos y pasivos. Siendo frecuente el uso de amplificadores operacionales, que permite obtener resonancia y un elevado factor Q sin el empleo de bobinas.
Filtros analógicos o digitales
Atendiendo a la naturaleza de las señales tratadas los filtros pueden ser:
Filtro analógico: Diseñado para eltratamiento de señales analógicas.
Filtro digital: Diseñado para el tratamiento de señales digitales.
Otros filtros
Filtro piezoeléctrico Es aquel que aprovecha las propiedades resonantes de determinados materiales como el cuarzo.
Otro tipo de filtro puede ser la ferrita que hay en muchos cables, por ejemplo en el de las pantallas de ordenador, que tiene la propiedad de presentar distinta impedancia a alta y baja frecuencia.

transformada de Fourier

TRABAJO

EJERCICIOS DE LAPLACE

CONVOLUCION

Convolución

Se denomina convolución a una función, que de forma lineal y continua, transforma una señal de entrada en una nueva señal de salida. La función de convolución se expresa por el símbolo *.
En un sistema unidimensional, se dice que g(x) convoluciona f(x) cuando
donde x’ es una variable de integración.
El resultado de g(x) depende únicamente del valor de f(x) en el punto x, pero no de la posición de x. Es la propiedad que se denomina invariante respecto la posición (position-invariant) y es condición necesaria en la definición de las integrales de convolución.
En el caso de una función continua, bidimensional, como es el caso de una imagen monocroma, la convolución de f(x,y) por g(x,y) será:

Convolución en un dispositivo óptico (microscopio de fluorescencia, corte longitudinal de una imagen 3D)

Convolución de dos Pulsos Cuadrados (La función resultante termina siendo un Pulso Triangular). Animación realizada por Lautaro Carmona con el Mathematica v5.0

Convolución de un Pulso Cuadrado (como señal de entrada) con la respuesta al impulso de un capacitor para obtener la señal de salida (respuesta del capacitor a dicha señal). Animación realizada por Lautaro Carmona con el Mathematica v5.0
En matematicas y, en particular, analisis funcional, una convolución es un operador matemático que transforma dos funciones f y g en una tercera función que en cierto sentido representa la magnitud en la que se superponen f y una versión trasladada e invertida de g. Una convolución es un tipo muy general de promedio movil, como se puede observar si una de las funciones la tomamos como la funcion caracteristica de un intervalo.

Tipos de Convolución

Convolucion Discreta
Cuando se trata de hacer un procesamiento digital de señal no tiene sentido hablar de convoluciones aplicando estrictamente la definición ya que solo disponemos de valores en instantes discretos de tiempo. Es necesario, pues, una aproximación numérica. Para realizar la convolución entre dos señales, se evaluará el área de la función : . Para ello, disponemos de muestreos de ambas señales en los instantes de tiempo , que llamaremos y (donde n y k son enteros).

Convolución Circular
Cuando una función gT es periódica, con un periodo de T, entonces las funciones, f, tales como f*gT existentes, su convolución es también periódica i igual a:
Donde se escoge arbitrariamente.

Si gT es una extensión periodica de otra función, g, entonces f*gT se sabe que es circular, cíclica, o periodica de una convolución de f i g.
Mètodo para calcular la convolución circular:
Tenemos 2 circulos, uno exterior y otro interior. Vamos girando el círculo interior i sumando sus valores. Si los dos círculos tienen diferentes tamaños, entonces el más pequeño le añadimos "0" al inicio, al final o al inicio y final.
[L >= L1 + L2-1]

MODULACION

MODULACIÓN

Muchas señales de entrada no pueden ser enviadas directamente hacia el canal, como vienen del transductor. Para eso se modifica una onda portadora, cuyas propiedades se adaptan mejor al medio de comunicación en cuestión, para representar el mensaje.

"La modulación es la alteración sistemática de una onda portadora de acuerdo con el mensaje (señal modulada) y puede ser también una codificación"
"Las señales de banda base producidas por diferentes fuentes de información no son siempre adecuadas para la transmisión directa a través de un a canal dado. Estas señales son en ocasiones fuertemente modificadas para facilitar su transmisión."
Una portadora es una senoide de alta frecuencia, y uno de sus parámetros (tal como la amplitud, la frecuencia o la fase) se varía en proporción a la señal de banda base s(t). De acuerdo con esto, se obtiene la modulación en amplitud (AM), la modulación en frecuencia (FM), o la modulación en fase (PM). La siguiente figura muestra una señal de banda base s(t) y las formas de onda de AM y FM correspondientes. En AM la amplitud de la portadora varia en proporción a s(t), y en FM, la frecuencia de la portadora varia en proporción a s(t).

¿ QUE TIPOS DE MODULACIÓN EXISTEN ?

Existen básicamente dos tipos de modulación: la modulación ANALÓGICA, que se realiza a partir de señales analógicas de información, por ejemplo la voz humana, audio y video en su forma eléctrica y la modulación DIGITAL, que se lleva a cabo a partir de señales generadas por fuentes digitales, por ejemplo una computadora.
Modulación Analógica: AM, FM, PM
Modulación Digital: ASK, FSK, PSK, QAM

En este capitulo se encuentran resumidas las nociones básicas para comprender el proceso que sufre una información que se desea hacer llegar a un corresponsal a través de una señal de radio , ya sea esta un voz , una imagen o bien datos informáticos , pues todo resulta a efectos de transmisión sonido. La modulación nace de la necesidad de transportar una información a través del espacio. Este es un proceso mediante el cual dicha información (onda moduladora) se inserta a un soporte de transmisión